Свойства операций над языками

1) Дистрибутивность конкатенации относительно объединения: $$L_1(L_2 \cup L_3) = L_1 L_2 \cup L_1 L_3$$ $$(L_2 \cup L_3)L_1 = L_2 L_1 \cup L_3 L_1$$ 2) Свойство конкатенации и пересечения: $$L_1(L_2 \cap L_3) \subseteq L_1 L_2 \cap L_1 L_3$$ $$(L_2 \cap L_3)L_1 \subseteq L_2 L_1 \cap L_3 L_1$$

1) Докажем для $(L_1 \cup L_2)L_3 = L_1 L_3 \cup L_2 L_3$: $\Large{\subseteq}$ $$w \in (L_1 \cup L_2)L_3 \Rightarrow \exists{w_1 \in L_1 \cup L_2, w_2 \in L_3}\text{, что } w = w_1 w_2 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow w_1 w_2 \in L_1 L_3 \text{ или } w_1 w_2 \in L_2 L_3 \Rightarrow w = w_1 w_2 \in L_1 L_3 \cup L_2 L_3$$ Имеем: $$(L_1 \cup L_2)L_3 \subseteq L_1 L_3 \cup L_2 L_3$$ $\Large{\supseteq}$ $$w \in L_1 L_3 \cup L_2 L_3 \Rightarrow w \in L_1 L_3 \text{ или } w \in L_2 L_3 \Rightarrow$$ $$w = w_1 w_3~~ (w_1 \in L_1, w_3 \in L_3) \text{ или } (w = v_2 v_3,~ v_2 \in L_2, v_3 \in L_3) \Rightarrow$$ $$\Rightarrow w_1 \in L_1 \cup L_2, w_3 \in L_3 \text{ или } v_2 \in L_1 \cup L_2, v_3 \in L_3 \Rightarrow$$ $$w_1 w_3 \in (L_1 \cup L_2)L_3 \text{ или } v_2 v_3 \in (L_1 \cup L_2)L_3 \Rightarrow w \in (L_1 \cup L_2)L_3$$

$$(L_1 \cup L_2)^* \supseteq L_1^* \cup L_2^*$$ $$(L_1 \cap L_2)^* \subseteq L_1^* \cap L_2^*$$